ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ
Динамика

© Лопатин Павел Борисович
Настоящий курс лекций построен на основе лекций, которые читал Б.А. Слободсков.

§ 64. Закон всемирного тяготения

1. Открытие закона всемирного тяготения было блестящим примером решения Ньютоном обратной задачи динамики. То есть он по известным законам движения планет, полученным на основе опытных данных Кеплером, открыл закон, которому подчиняются силы притяжения между Солнцем и планетами, а также и всеми телами природы.

2. Вывод закона всемирного тяготения для двух тел.

   Выведем закон тяготения для взаимодействия планет с Солнцем.
   Планеты движутся по эллипсам, но степень сжатия эллипсов очень мала, и в первом приближении можно считать, что планеты движутся по окружностям, т.е. имеют только одно нормальное ускорение.
   Найдём соотношение между модулями нормальных ускорений двух каких-либо планет.

   Запишем формулы модулей нормальных ускорений планет через угловую скорость.

   Поделим:

.

   По третьему закону Кеплера:

.

   Тогда получаем, что:

.

(1)

   Видим, что модули ускорений планет обратно пропорциональны квадратам расстояний от Солнца.
   Но по II закону Ньютона ускорения сообщают силы, причём ускорения пропорциональны силам. Значит, модули сил, действующие на планеты со стороны Солнца, изменяются обратно пропорционально квадратам расстояний планет от Солнца.

   К этому выводу можно прийти и иначе.

   Умножим обе части равенства (1) на  :

.

   - сила, действующая на 1ю планету со стороны Солнца

   - сила, действующая на 2ю планету со стороны Солнца

   Имеем:  . (2)

   Видим, что модули сил притяжения планет к Солнцу прямо пропорциональны массам планет и обратно пропорциональны квадратам расстояний планет от Солнца.
   С точки зрения III закона Ньютона не только на планеты действуют силы со стороны Солнца, но и на Солнце действуют точно такие же по модулю силы, т.е. тяготение является взаимным.

   Поэтому силы тяготения планет и Солнца должны зависеть не только от массы планет (m), но и от массы Солнца (M). 

   Первоначально закон тяготения был сформулирован так: сила притяжения Солнцем планет прямо пропорциональна массам планет и Солнца и обратно пропорциональна квадратам расстояний планет от Солнца.

3. Силы тяготения и притяжение тел к Земле.

   У Ньютона возникла мысль, что притяжение тел к Земле подчиняется тому же закону, что и притяжение планет к Солнцу, т.е. закону обратных квадратов.
   Ньютон обратился к притяжению между Луной и Землёй.
   Луна движется по орбите вокруг Земли, а её центростремительное ускорение было известно до Ньютона из кинематических данных, которые были получены непосредственно опытным путём.

   см/ - ускорение Луны на орбите

   По Ньютону ускорение сообщают силы. Если силы притяжения между Луной и Землёй подчиняются закону обратных квадратов, то должно выполняться следующее.
   Ньютон проделал мысленный эксперимент. Если бы Луну поместить на поверхность Земли, то, как и всем телам на поверхности Земли, сила тяжести сообщила бы Луне ускорение  g=9,8 м/=980 см/. Расстояние от Земли до Луны равно 60 земным радиусам. Если сила тяготения является всемирной, то при удалении Луны с поверхности Земли вновь на её орбиту, сила тяготения, а значит, и ускорение уменьшилось бы в 60 в квадрате раз, т.е. стало бы  .
   Рассчитаем:  см/.
   Совпадение ускорения, вычисленного на основе закона тяготения, с ускорением, которое было найдено опытным путём кинематически, утвердило мнение Ньютона в том, что закон тяготения носит всемирный характер.

Н*м/кг - гравитационная постоянная в СИ

4. О применении закона тяготения. Точечные и неточечные массы.

   Закон тяготения справедлив для материальных точек (точечных масс). Его в таком же виде можно применять для однородных шаров, а также шаров с концентрическими слоями.
   Его можно применять и для реальных тел, если расстояние между ними значительно больше линейных размеров самих тел (планеты, звёзды, Солнце, спутники).
   Во всех остальных случаях тела надо разбивать на материальные точки, находить силу тяготения по закону всемирного тяготения, а потом силы суммировать. В общих случаях такие задачи решаются с помощью интегрального исчисления.
   Ньютон, рассчитывая силу притяжения яблока к Земле, осознал, что нужно учитывать притяжение каждого грамма земной массы; не только той, что под ногами, но и всей остальной, вплоть до противоположного полушария. Ему потребовалось около 20 лет, чтобы выполнить такие вычисления. Пришлось сложить силы притяжения каждого отдельного кусочка Земли, у каждого из которых - своё расстояние и направление от яблока. Для сложения всех этих сил ему пришлось изобрести новую область математики, которую сегодня и называют интегральным исчислением. Результат вычислений показал, что гравитация шарообразного тела (например, Земли) действует так, как будто вся масса сконцентрирована в центре этого тела.[Тайсон Н., Стросс М., Готт Дж. Большое космическое путешествие / Пер. с англ. О. Савченко. - СПб.: Питер, 2018.]

5. Для реальных тел сила тяготения лишь на больших расстояниях подчиняется закону обратных квадратов. Вблизи тел она может изменяться сложным образом.

   Пример 1. Сфера и материальная точка.

   Внутри сферы  F=0 (см. § 68).

   Пример 2. Шар и материальная точка.

   Если материальная точка массой  m находится в глубокой шахте на расстоянии  r от центра Земли (), то зависимость F=f(r) есть прямая пропорциональность:  , где G - гравитационная постоянная,  - средняя плотность Земли (считаем, что плотность Земли всюду одинакова). 

   Пример 3. Кольцо и материальная точка.

< Предыдущий параграф <     Оглавление     > Следующий параграф >