ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ
Динамика

© Лопатин Павел Борисович
Настоящий курс лекций построен на основе лекций, которые читал Б.А. Слободсков.

§ 75. Реактивное движение. Реактивная сила. Уравнение Мещерского

1. Реактивное движение.

Под реактивным движением понимается движение тела за счёт отброса некоторых его частей со скоростью относительно тела.

   Выброс частей может быть в виде (чаще всего) истечения струи жидкости или газа.

   Наблюдать реактивное движение очень просто.

   Пример 1.

   Надуйте детский резиновый шарик и отпустите его. Шарик стремительно полетит. Возникнет реактивная сила  , которая будет действовать до тех пор, пока продолжается истечение воздуха.
   Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами.
   В нашем примере шарик летит за счёт взаимодействия с вытекающей из него струёй воздуха.

   Пример 2.

   Возникновение силы, действующей на изогнутую трубку (см. рис. выше) при протекании жидкости или газа, можно объяснить на основе теоремы об изменении импульса и III закона Ньютона.

   При повороте элемента жидкости массой  m её скорость изменяется от  до  . Импульс изменяется от  до  . Изменение импульса  . Геометрически это вычитание изображено на рисунке выше.
   Согласно теореме об изменении импульса  трубка действует на воду с силой  , сонаправленной с  .
   По III закону Ньютона вода действует на трубку с силой противоположного направления, в данном случае это - реактивная сила  . Её можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: одна составляющая  будет растягивать трубку, а другая  - изгибать её.

2. Вывод формулы реактивной силы и уравнения Мещерского.

   Реактивное движение широко используется в ракетной технике и авиации.

   Впервые разработал теорию движения ракеты и получил формулу реактивной силы профессор Петербургского политехнического института И.В. Мещерский.

   Обозначим:

- начальная масса ракеты;

- начальная скорость ракеты до начала работы двигателей;

- масса топлива, сгорающего за малый промежуток времени  (масса газов, вытекающих за малый промежуток времени  );

, где  - быстрота сгорания топлива, то есть масса топлива, сгорающего за 1 секунду;  кг/с;

- скорость ракеты к концу времени  относительно неподвижной системы координат, связанной со звёздами;

- скорость газов относительно неподвижной системы координат, связанной со звёздами;

- скорость газов относительно ракеты.

   До начала работы двигателей топливо и ракета имели импульс  .

   Когда сработают двигатели, то газы получат импульс  , и импульс ракеты станет  .

   Если ракета движется вдали от звёзд, то внешними силами можно пренебречь и применить закон сохранения импульса:

. (1)

   Введём в это уравнение скорость газов относительно ракеты  .

   Для этого выразим абсолютную скорость газов  через относительную скорость  , воспользовавшись законом сложения скоростей  :

;  ;  =>  . (2)

   Подставим (2) в (1):

;

;

;

;

.

   Вторым слагаемым  можно пренебречь, т.к. оно мало по сравнению с третьим и первым (слагаемое второго порядка малости).

   Получаем:

;

;

;

;

. (3)

   Согласно II закону Ньютона произведение массы и ускорения есть сила, следовательно, правая часть равенства (3) также является силой. Эта сила образована истечением газов из ракеты и называется реактивной силой:

. (4)

   Знак "минус" в уравнении (4) показывает, что реактивная сила направлена против относительной скорости газов; приложена она к самой ракете.

   Так как реактивная сила обусловлена лишь истечением газов из ракеты, то ракета может лететь в любом пространстве.

   С учётом формулы (3) формула (4) перепишется так:

.

   Видим, что если на ракету не действуют внешние силы (она летит вдали от планет и звёзд), то её ускорение обусловлено лишь реактивной силой.
   Если же на ракету действуют и внешние силы, то ускорение обусловлено и этими силами.

- уравнение Мещерского

   В таком виде уравнение Мещерского можно применять только для отдельных моментов времени, т.к. масса ракеты уменьшается; поэтому ускорение не будет постоянным.

   В общем случае уравнение записывается в виде дифференциального уравнения и решается интегрированием.

   Скорость истечения газов главным образом зависит от температуры газа и его молярной массы:

u~ , где

- абсолютная температура;

- молярная масса;  кг/моль. 

< Предыдущий параграф <     Оглавление     > Следующий параграф >