ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ
Кинематика

© Лопатин Павел Борисович
Настоящий курс лекций построен на основе лекций, которые читал Б.А. Слободсков.

§ 23. Уравнения движения с постоянным ускорением

1. Знаем, что одна из основных задач механики заключается в том, чтобы уметь предвидеть скорость и положение точки в любой момент времени.
   Скорость при движении с постоянным ускорением мы научились находить. Положение точки определяется радиус-вектором или координатами. В любом движении  , а координаты равняются  ;  ;  . 
   Так как движение с постоянным ускорением происходит в одной плоскости, то достаточно знать две координаты x и y. Начальные координаты заданы, значит надо уметь вычислять изменения координат    и  .

2. Покажем, что изменение координаты, как и в равномерном движении, можно вычислить по площади под графиком проекции скорости.

   Разобьём отрезок времени OC на малые промежутки  ;  и т.д. Из середины этих отрезков времени восстановим перпендикуляры до пересечения с графиком. Они служат проекциями скоростей  ;  и т.д. в серединах отрезков времени  .
   На каждом отрезке времени  построим прямоугольник  , площадь которого равна площади трапеции  . В течение каждого промежутка времени  скорость непрерывно возрастает, например, от величины  до величины  .
   Построив прямоугольники, мы заменили истинные переменные движения равномерными движениями с постоянной скоростью. Так, на интервале времени ad проекции скорости одинаковы и равны по величине отрезкам ab и dc. При переходе от одного интервала времени к другому скорость изменяется скачком.
   Очевидно, что при уменьшении промежутков времени  эти скачки в скоростях будут всё меньше и меньше. То есть при стремлении промежутков времени  к нулю () воображаемые равномерные движения будут всё ближе и ближе стремиться к истинному переменному движению, а площадь ступенчатой фигуры будет приближаться к площади трапеции OABC. Так как площадь каждого прямоугольника есть изменение координаты в равномерном движении, то сумма всех площадей даст изменение координаты за всё время равномерного движения. Но т.к. при  равномерные движения всё ближе и ближе стремятся к переменному движению, то и сумма площадей прямоугольников будет стремиться к изменению координаты переменного движения за время t.

   Итак:  (численно).

   Знаем, что:  .

   Итак:

   .

3. Вывод формулы изменения координаты  с помощью интегрального вычисления.

   Для этого берут бесконечно малое изменение координаты, обозначаемое  dx. На таком бесконечно малом изменении координаты проекция скорости остаётся постоянной , а промежуток времени будет бесконечно малым. Его обозначают через  dt :  .

   Полное изменение координаты  равно интегралу всех элементарных бесконечно малых изменений координаты на интервале времени от 0 до  t.

   ,

     где  

< Предыдущий параграф <     Оглавление     > Следующий параграф >